penerapan integral tak tentu

Penerapan integral tak tentu

            Salah satu penerapan integral tak tentu yaitu penentuan persamaan kurva dengan persamaan Y=F(X) apabila diketahui (^dy/_dx) dan sebuah titik yang terletak pada kurva tersebut.

Missal: diketahui sebuah grafik fungsi dengan persamaan y=f(x), gradien garis singgung di setiap titik p(x,y), sebaliknya apabila gradient garis singgung di sembarang titik p(x,y) yang terletak disebuah kurva diketahui, maka persamaan kurva tersebut dapat ditentukan dengan rumus sbb:

Dy=F’(X) dx

Y=  integral dy

Y=   integral f’(x) dx

   = f(x) + C

            Persamaan y=f(x)+C merupakan persamaan himpunan kurva dengan gradient f’(x), salah satu anggota persamaan himpunan kurva itu dapat ditentukan apabila diketahui sebuah informasi tambahan itu misalnya kurva melewati titik tertentu atau (x₁,y₁).

Contoh:

1.gradien garis singgung di setiap titik p(x,y) yang terletak pada sebuah kurva adalaah (dy/dx) = 2x, jika kurva itu melalui titik -1,2 tentukan persamaannya.

   Jawab:

Dy/Dx= 2x

Dy=2x.dx

Y=  integral   dy

Y=    integral 2x.dx

   = X² +C

P(-1,2) masukkan ke dalam persamaan X,Y

Y= X²+C

2=1+C

C=3

Jadi Y=X²+1

2. Turunan kedua dari suatu persamaan kurva ditentukan oleh y’’=6x+8,kurva tersebut melalui titik (1,6) dan gradien garis singgungnya=7 ,tentukan persamaan kurva tersebut?

Jawab:

Gradien f’(x)=y’

Jadi y’= integral  6x+8 dx

           = 6/2 X² +8x

     y’= 3X²+8X+C

     7=3(1)² +8(1)+C

     C=-4

      Y’=3x²+8x-4         

Y =  integral y’x

     = integral 3x²+8x+4

     =x³+4x²-4x+c

6  = (1)³ +4(1)²-4(1)+c

C=5

Jadi persamaan kurvanya yaitu y=X³+4X²-4X+5

Penerapan integral tak tentu dalam mekanika

             S=F(t) merupakan persamaan gerak pada lintasannya, laju(v) dan percepatan(a) dari benda itu ditentukan dengan persamaan.

V= ds/dt= f’(t)

a= dv/dt= f’’(t)

  =d²s/dt²

             Sebaliknya jika laju benda pada saat (t) dan posisi benda pada saat t1 diketahui maka posisi benda pada sembarang waktu dapat ditentukan sebagai berikut:

S=integral    V.dt

Sedangkan untuk V yaitu: V= integral a.dt

Contoh soal.

             Sebuah benda bergerak dengan laju v m/s pada saat (t) detik laju benda dinyatakan dengan persamaan v=10-t, pada saat t=2s posisi benda berada pada jarak 30m pada jarak awal, tentukan posisi benda(s) sebagai fungsi waktu(t)?

 Jawab:

V=10-t

S  = integral    V.dt

     =integrl     (10-t).dt

    =10t - 1/2t² + c

 Pada saat t=2 s,diketahui s=30m

S= 10t – ½ t² +c

30= 10(2) – ½ (2)² +c

C= 12

Jadi S= 10t-1/2 t²+12